「LinearAlgebra」行列式

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1 概念

行列式
n 阶方阵的（n 阶）行列式
$\begin{align} D_n &= \sum(-1)^ta_{1q_1}a_{2q_2} \cdots a_{nq_n} \label{deterniant} \end{align}$
表示所有取自不同行和列的 $n$ 个元素乘积的代数和，展开式共有 $n!$ 项，正负各半；其中 $t$ 为排列 $q_1q_2 \cdots q_n$ 的逆序数；
为什么要用行列式
就是线性方程组的解的分母；
全排列
排列的逆序数
奇排列
偶排列
余子式
$\begin{align} M_{ij} \label{m} \end{align}$
代数余子式
$\begin{align} A_(ij) &= (-1)^{i+j} M_{ij} \label{a} \end{align}$

$D_n = D^T_n$
互换行列式的两行/列，行列式变号；
行列式某行/列的公因子可以提到外边；
矩阵等于另外两个矩阵的和，则其行列式也等于另外两个行列式的和；
矩阵某行/列成比例加到另一行/列上，行列式不变；
$|\mathrm A_n| = D_n \neq 0$
$\begin{align} \Leftrightarrow & \begin{cases} \mathrm A 可逆 \\ r(\mathrm A) = n \\ \mathrm A 的行/列向量线性无关 \\ \mathrm A 的特征值不全为 0 \\ \mathrm A \mathrm x = O 只有零解 \Leftrightarrow \forall \mathrm x \neq O, \mathrm A\mathrm x \neq O \\ \end{cases} \label{d_neq_zero} \end{align}$
$|\mathrm A_n| = D_n = 0$
$\begin{align} \Leftrightarrow & \begin{cases} \mathrm A 不可逆 \\ r(\mathrm A) < n \\ \mathrm A 的行/列向量线性相关 \\ 0 是 \mathrm A 的特征值 \\ \mathrm A \mathrm x = O 有非零解，其基础解系为 \mathrm A 关于 \lambda = 0 的特征向量 \end{cases} \label{d_eq_zero} \end{align}$

按行列展开定理：行列式等于任一行/列的各元素与其对应代数余子式乘积之和：
$\begin{align} D_n = \sum_{i=1}^{n} a_{ki}A_{ki} = \sum_{i=1}^{n} a_{ik}A_{ik}, k \in [1, n] \label{da} \end{align}$
推论：行列式某一行/列与另一行/列的对应元素的代数余子式乘积之和为 0：
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n} a_{ki}A_{kj} &= \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = 0, i \neq j\label{a0} \end{align}$